La liquéfaction des sols est un phénomène qui peut survenir lors d’un séisme, généralement dans
les terrains pulvérulents, sableux, peu denses, sous nappe.
La secousse fait monter la pression interstitielle jusqu’à l’annulation de la contrainte effective, le terrain se comportant alors comme un liquide (jusqu’à ce que les pressions interstitielles se rééquilibrent).
Les effets sur les ouvrages sont alors très importants (perte de stabilité générale, déplacements pouvant entraîner la défaillance des structures, etc.). Les détails sur le phénomène et les méthodes d’évaluation, ainsi qu’une bibliographie exhaustive sur le sujet, peuvent être retrouvés dans le Cahier
technique 45 de l’Association française de génie parasismique (1).
Les vitesses de propagation des ondes sismiques sont un paramètre essentiel qui entre dans les études d’interaction sol-structure sous séisme, ainsi que dans les calculs de réponse de site (modification du signal sismique lors de sa traversée des couches meubles superfi cielles) ; sa connaissance repose généralement sur un nombre restreint de points de mesures et une incertitude
forfaitaire est souvent prise en compte dans les études. Pour une introduction aux méthodes, voir la référence (2). La géotechnique est un domaine en constante évolution, les praticiens sont toujours à la recherche de nouveaux outils susceptibles d'améliorer la conception, en leur permettant de mieux gérer les incertitudes et la variabilité spatiale parfois conséquente des caractéristiques des terrains, liée à la nature des matériaux et à leur histoire.
À cet égard, dans cet article, la théorie de la géostatistique est utilisée afi n de répondre à deux problématiques géotechniques : l’amélioration de l’interpolation d’un paramètre géotechnique mesuré sur un nombre restreint d’emplacements, la vitesse de propagation des ondes de cisaillement (Vs), à l’aide d’essais de pénétration au carottier (SPT) plus densément représentés, spatialement (meilleure couverture) nombreux, mais qui ne mesurent pas directement cette vitesse : méthode d’interpolation de cokrigeage ; et l’analyse spatiale du risque de liquéfaction dans les couches sableuses de fondation : méthode des simulations géostatistiques.

SITE ET DONNÉES GÉOTECHNIQUES 

Le site étudié par le service géologie & géotechnique d’EDF* est constitué sous la fondation d’une couche sableuse sous nappe, sables denses tertiaires dont les premiers mètres sont altérés et
présentent des caractéristiques moins favorables sur une épaisseur variable.
À ce titre, l’étude de liquéfaction est importante, afi n d’estimer les volumes potentiellement liquéfiables, qu’il est nécessaire de purger et substituer avant construction de la centrale proprement
dite. La nouvelle implantation couvre environ 18 ha à terre, et les ouvrages en mer courent sur près de 4 km en mer (tunnels de prise et de rejet d’eau).
Les reconnaissances ont débuté pour le site en 1957. L’implantation de nouvelles installations est étudiée spécifiquement depuis 1975. En 2022, 28 campagnes de reconnaissance sont
réalisées à terre et en mer, incluant plus de 350 sondages carottés, environ 5 000 essais in situ au droit de plus de 1 000 emplacements et 5 000 essais de laboratoire, ainsi que près de 70 km de
lignes sismiques.
Au cours de ces différentes campagnes, les essais SPT (essai in situ consistant à mesurer la résistance du terrain comme le nombre de coups nécessaires pour enfoncer de 30 cm un carottier à l’aide d’un mouton normalisé) sont particulièrement représentés. La base de données comprend 3 850 essais SPT entre 1957 et 2019, dont 1 553 dans les couches de sables dans la zone étudiée. Dans
l’ensemble, les valeurs croissent avec la profondeur. À partir des mesures SPT, l’analyse du risque de liquéfaction est effectuée selon la méthode déterministe du NCEER (2001) (3). Des marges sont
prises sur le niveau sismique et le résultat final, et conduisent à définir pour la conception un seuil de 15 coups, sans tenir compte de l’effet de la profondeur ni de la teneur en particules fi nes du matériau (en deçà, les terrains doivent être excavés et substitués par un matériau adéquat). En pratique, cela se traduit par un niveau général d’excavation dans la zone fi xée à la cote - 10 m AOD, et des surexcavations locales autour des sondages présentant des valeurs faibles au-delà (jusqu’à - 12 m).
Les mesures de vitesses des ondes de cisaillement utilisées dans cet article sont réalisées en sondage, essentiellement par des essais cross-hole, downhole et PSSL (sonde descendue en
forage) (fi gure 1). D’autres essais réalisés en surface (MASW) ne sont pas représentés.
Les analyses géostatistiques sont réalisées sur un volume d’intérêt qui est latéralement limité par une zone d’intérêt (représentée sur la fi gure 1) de surface égale à 373 396 m². Le volume d’intérêt est verticalement limité aux formations sédimentaires déposées pendant le pliocène tardif, représentant une épaisseur d’environ 42 m. Le volume d’intérêt est rempli par 31 637 420 blocs de la taille
de 1 x 1x 0,5 m3, donc le volume à l’étude s’élève à 15 818 710 m3. Implantation des sondages étudiés, zone d’intérêt (ligne pointillée rouge) et enveloppe (ligne pointillée bleue) contenant les sondages marginaux. La taille de points est proportionnelle au nombre de valeurs SPT (jaune) et Vs (vert) dans chaque sondage.
Bien que les sondages dans lesquels Vs est mesurée aient une répartition spatiale restreinte, les sondages SPT ont une couverture plus représentative dans la zone d’intérêt (fi gure 1). Dans l’enveloppe contenant les sondages marginaux, 1048 mesures de SPT et 453 mesures de Vs sont disponibles. Les distributions statistiques des deux paramètres géotechniques sont asymétriques
(figure 2). Les échantillons SPT et Vs ne sont pas colocalisés. En d’autres termes, les coordonnées des essais SPT sont différentes de celles des mesures de Vs. Du fait de ce manque d’échantillons
colocalisés, il est impossible d’étudier la statistique bi-variable entre les mesures de SPT et de Vs basées sur les échantillons.

THÉORIE DE LA GÉOSTATISTIQUE

Dans le domaine géotechnique, la géostatistique est utilisée afi n de cartographier les paramètres catégoriels, par exemple le faciès, ou les paramètres continus, comme la porosité ou UCS.
Cette méthode repose sur l’analyse de données spatialisées. La géostatistique allie une approche naturaliste et structurale, qui répond aux caractères mêmes des variables/objets étudiés et
une approche stochastique reposant sur des principes probabilistes (théorie des variables aléatoires). L’analyse géostatistique, en plus de générer des distributions statistiques de données,
examine les connexions géographiques qui existent entre les variables. Sa valeur ajoutée repose sur plusieurs points (4) :

• lors de l’interpolation aux points non mesurés, la géostatistique intègre la variabilité spatiale via un modèle du variogramme. Cette connaissance de la structure spatiale rend possible à la fois
  l’interpolation elle-même (krigeage), mais également la quantification de l’erreur d’interpolation attendue ou écart-type de krigeage ou l’incertitude associée. Cette incertitude, inéluctable,
  est liée à la connaissance uniquement parcellaire du phénomène et à l’hétérogénéité spatiale du phénomène ; la précision attendue de la cartographie d’une variable sera différente selon que les couches géologiques sont intactes et homogènes, relativement continues ou très hétérogènes (par exemple, dépôts morainiques, massif karstifi é…) ou bien que ce sont les couches géologiques intactes et homogènes relativement continues. En outre, l’anisotropie probable liée à la stratification géologique (variabilité verticale plus importante) sera intégrée dans la modélisation ;
• la quantification de l’incertitude associée au krigeage (écart-type de krigeage) dépend de la structure spatiale du phénomène à l’étude, mais également de la configuration géographique
  des échantillons : l’absence d’investigations dans certaines zones ne pourra ainsi être interprétée comme une valeur zéro de la variable à l’étude, mais conduira au contraire à une incertitude localement accrue. L’évaluation de cette incertitude associée à l’interpolation
  peut également permettre d’orienter l’échantillonnage complémentaire. Pour un cas d’étude d’application de la géostatistique dans l’optimisation d’échantillonnage,voir Masoudi (2021) (5) ;
• la prise en compte d’informations auxiliaires permet d’affi ner le modèle construit à partir des résultats analytiques et d’en réduire l’incertitude ;
• Afin d’évaluer le risque de dépassement d’un seuil d’intérêt, il est fréquemment recommandé de ne pas se baser uniquement sur une courbe d’iso-valeur issue de l’interpolation par krigeage. En effet, cette courbe peut être entachée d’incertitude, en particulier lorsqu’il n’y a pas eu d’échantillonnage à proximité. Ainsi fonder des décisions exclusivement sur cette courbe peut conduire à des erreurs signifi catives. Par conséquent, il est préférable de baser de telles décisions sur une cartographie de la probabilité de dépassement du seuil d’intérêt qui intègre bien l’incertitude liée à l’interpolation spatiale. Le zonage sera alors fondé non plus sur une courbe d’iso-valeur mais plutôt sur une courbe de risque de dépassement du seuil.

ANALYSE SPATIALE MONOVARIABLE ET ANALYSE VARIOGRAPHIQUE MONOVARIABLE

Dans le cadre de la géostatistique, la variabilité d’une mesure spatialisée est souvent étudiée par une analyse variographique. Pendant l’analyse variographique, une fonction mathématique (le modèle de variogramme) est ajustée pour décrire la variabilité en fonction de la distance. La courbe du variogramme est généralement ascendante, ce qui signifie moins de variabilité entre les échantillons proches et plus de variabilité entre les échantillons éloignés (6-7).
L’analyse variographique monovariable est réalisée séparément sur chacune des variables.
La bonne couverture horizontale des échantillons SPT, permet d’effectuer une analyse variographique multidirectionnelle.
Le variogramme révèle deux types d’anisotropies (fi gure 3a), attendues en raison d’une organisation géologique en strates horizontales :

• anisotropie géométrique : la corrélation spatiale (la portée, lue sur l’axe de distance) est plus importante dans la direction horizontale (en rouge sur la figure 3a et dans l’Eq. 1) que verticale ;
• anisotropie zonale : la variabilité totale (le palier, lu sur l’axe des ordonnées) est plus importante dans la direction verticale (en bleu sur la fi gure 3a et dans l’Eq. 1).

L’analyse variographique de Vs dans la direction verticale est effectuée à l’aide d’un variogramme expérimental présentant plus d’information dans la direction verticale que dans la direction horizontale,
qui est due à la faible couverture horizontale des échantillons Vs. En se basant sur les informations disponibles, force est de constater que dans la direction verticale, la variabilité est plus importante

(figure 3 b et dans l’Eq. 2).

CARTOGRAPHIE MONOVARIABLE DES PARAMÈTRES GÉOTECHNIQUES

La carte d’interpolation de SPT (figure 4a) est conditionnée aux échantillons de SPT qui ont une bonne couverture spatiale (fi gure 1). La variabilité spatiale de SPT est mise en évidence sur la carte d'interpolation. Elle dépend de la densité des échantillons disponibles et du modèle de variogramme sous-jacent (figure 3a). Sur la carte d’interpolation, les zones avec une valeur SPT inférieure à la valeur critique de 15 sont mis en évidence à l'aide d'un contour rouge.
Associée à la carte d’interpolation géostatistique, une carte d’écart-type d’erreur d’interpolation de SPT (figure 4 b) constitue une information importante qui permet d’identifier localement les zones présentant une grande erreur sur l’interpolation. Sur la carte d’écart-type, l’erreur d’interpolation diminue près des mesures, alors qu’elle augmente dans les endroits où la densité des échantillons
est faible. La carte d’interpolation de Vs (figure 5a) est conditionnée par le nombre restreint des mesures de Vs qui ont une faible couverture spatiale (fi gure 1). Cela induit une variabilité spaciale plus faible. La carte d’écart-type d’erreur d’interpolation de Vs (figure 5 b) met en évidence la faible couverture spatiale des échantillons de Vs. Les zones avec l’écart-type élevé ont une faible variabilité spatiale sur la carte d’interpolation de la figure 5a. Des sondages supplémentaire dans ces zones incertaines seraint justifiés pour réduire l’erreur d’interpolation (voir (5)).

ANALYSE SPATIALE MULTIVARIABLE

Dans un contexte multivariable, étudier la variabilité spatiale des mesures hétérotopiques
(non-colocalisées comme SPT et Vs ici), nécessite de migrer géographiquement les observations/
mesures d’une des deux variables à l’emplacement de la seconde. Pour ce faire, la méthode d’interpolation de krigeage ordinaire, présentée en amont, est réutilisée afi n de reproduire les valeurs de SPT sur les échantillons de Vs. Ce qui nous permet d’étudier la corrélation (figure 6).
Les échantillons entre ces deux variables correspondant à du rocher, sont supprimées avant d’établir une relation non linéaire entre Vs et SPT dans le sol (Eq. 3) avec un coefficient de corrélation non linéaire atteignant 0,79. Il faut noter que la forme fonctionnelle dans l’Eq. 3 est cohérente avec les corrélations proposées dans la littérature. Cette équation permet de préciser cette corrélation pour le site étudié.
Un coefficient de corrélation élevé entre les deux variables SPT interpolé et Vs est un prérequis pour justifier de modéliser un variogramme croisé afi n de pouvoir effectuer l’interpolation de cokrigeage
par la suite (8). Le variogramme croisé (fi gure 7 et dans l’Eq. 4) reproduit l’anisotropie, c’est-à-dire la variabilité plus importante dans la direction verticale qui est due à la stratifi cation horizontale des couches géologiques. De plus, le variogramme croisé dans la direction horizontale présente plus d’informations que la direction horizontale du variogramme monovariable de Vs (figure 3 b), ce qui confirme la robustesse de la modélisation.

En comparant le variogramme croisé (Eq. 4) avec les variogrammes simples (Eq. 1 et Eq. 2), on peut constater que les paliers sont identiques. La portée dans le variogramme croisé est plutôt infl uencée par les mesures SPT qui sont plus fréquentes dans la direction horizontale.

CARTOGRAPHIE DE VS ANALYSE MULTIVARIABLE COKRIGEAGE

La carte d’interpolation de Vs (fi gure 8a) est conditionnée à la fois aux échantillons de Vs [la variable principale (fi gure 1)], et les données SPT interpolées (fi gure 4a), [la variable auxiliaire avec une couverture spatiale plus importante]. La variabilité spatiale de la cartographie de Vs est améliorée en intégrant les données SPT. La qualité de la carte produite dépend de :
i. la densité des échantillons de Vs [la variable principale],
ii. la densité des échantillons de SPT [la variable auxiliaire] et
iii. le modèle du variogramme croisé sous-jacent (fi gure 7).
En comparant les cartes d’interpolation de Vs par cokrigeage (fi gure 8) et krigeage (fi gure 5a) on constate que la carte de cokrigeage montre plus de détails, grâce à la prise en compte des valeurs SPT interpolées. En parallèle, la comparaison des cartes d’écart-type de Vs par la méthode de cokrigeage (fi gure 8 b) et de krigeage (fi gure 5 b), montre que l’erreur d’interpolation est
diminuée grâce à un conditionnement aux données auxiliaires par la méthode de cokrigeage.

ANALYSE DE RISQUE PAR LA MÉTHODE DE SIMULATIONS GÉOSTATISTIQUES

Les simulations géostatistiques permettent de générer de multiples valeurs possibles de la variable étudiée afin de quantifier l’incertitude d’estimation.
L’exploitation probabiliste de ces réalisations permet la quantification du risque résiduel de liquéfaction à la profondeur jusqu’à laquelle il a été prévu de substituer les terrains.
La méthode de simulation par bandes tournantes (SBT) est utilisée afi n de générer cent réalisations. L’algorithme de SBT est conçu pour simuler une variable avec la distribution statistique gaussienne. Or toutes les variables n’ayant pas de distribution statistique gaussienne, elles doivent être transformées
en variables gaussiennes équivalentes avant d’appliquer la méthode de SBT (9). À ce propos, l’anamorphose gaussienne est fréquemment utilisée afin de convertir les données brutes (espace brut) en leurs équivalents gaussiens (espace gaussien) en amont de l’analyse variographique.
Par analogie à l’espace brut (fi gure 3a et dans l’Eq. 1), la fonction sphérique est utilisée afin de modéliser le variogramme dans l’espace gaussien (fi gure 9 et dans l’Eq. 5). Dans l’espace
gaussien, la portée horizontale du variogramme est inférieure à celle de l’espace brut. En revanche, l’anisotropie géométrique est moins importante dans l’espace gaussien, ce qui est probablement
dû à la répartition spatiale des données et à la distribution statistique.
Les simulations par bandes tournantes (SBT) est utilisée pour générer cent réalisations de la variable SPT dans chaque bloc d’interpolation de taille 100 cm par 100 cm par 50 cm. Chacune de ces réalisations est comparée avec le seuil de 15 coups SPT afi n de générer la carte de la probabilité de dépassement de seuil (fi gure 10).

DISCUSSION ET CONCLUSION

Cette étude est une application de lagéostatistique pour la géotechnique, dans un projet de construction sur un site nucléaire, afi n de vérifi er l’adéquation et la pertinence des estimations
de volumes d’excavation/substitution effectuées par des méthodes plus simples. L’objectif est de permettre la quantifi cation continue spatialement du risque de liquéfaction par (co)krigeage,
ainsi que par une approche utilisant les simulations géostatistiques par bandes tournantes. Ceci pour permettre de mieux justifi er les choix techniques réalisés (critère retenu, couverture des
sondages, excavations proposées) et le cas échéant d’identifi er les points de faiblesse nécessitant une attention particulière (reconnaissances supplémentaires, surcreusement, etc.).
L’étude du risque de liquéfaction conduit en première approche, à retenir pour la conception un seuil de 15 coups SPT – les terrains présentant un nombre de coups inférieur devront être purgés et substitués. Par conséquent, selon l’approche par la méthode de krigeage ordinaire, le risque d’avoir SPTmatérialisé par le contour rouge sur la fi gure 10. Selon l’approche d’analyse de
risque par méthode de simulation TBS, le risque de liquéfaction est inversement proportionnel à la probabilité du dépassement du seuil. En acceptant un risque de 30 %, les blocs avec une probabilité (de SPT<15) inférieure à 70 % seront considérés comme dépassant le critère. Cela représente 1 974 269 m3 de sol (soit 12,5 % du volume d’intérêt), principalement à des cotes supérieures à - 12 m AOD (fi gure 11). Au-dessus de - 10 m AOD (localement - 12 m AOD), le sol sera substitué préalablement à la construction. Cependant l’analyse de risque confi rme la présence en deçà du niveau - 10 m AOD d’un risque résiduel d’avoir SPTcation détaillée par la méthode du NCEER 2001(3) qui permet de tenir compte de la profondeur et de la teneur en particules fi nes a permis de confi rmer que le coefficient de sécurité à la liquéfaction était partout largement supérieur à la valeur requise (1,25).
La carte de la fi gure 11 b affi che les blocs (altitude = - 10 m AOD) où la probabilité de dépassement du critère SPT>15 est inférieure à 70 % (équivalent au risque supérieur à 30 %).
Cette carte peut être mise à jour pour d’autres cotes et d’autres seuils de risque pour d’autres vérifi cations. Dans les deux approches géostatistiques proposées, la variabilité spatiale des données géotechniques est modélisée ce qui permet de conditionner la cartographie interpolée aux mesures
géotechniques. De plus, cette carte d’interpolation est complétée par une carte d’incertitude liée à la fois à la répartition des échantillons et à la variabilité spatiale du phénomène, ce qui permet de quantifi er la qualité de cette interpolation. Enfin,la modélisation géostatistique peut compléter les études géotechniques afin d’optimiser le budget des travaux en fi xant un risque maximal pour des paramètres géotechniques comme la résistance à la liquéfaction.

REMERCIEMENT

Ce projet a été réalisé par l'équipe de consultants au sein de Géovariances sur les spécifacations du Service géologie et géotechnique d'EDF. Les calculs géostatistiques ont été entièrement exécutés à l’aide du logiciel de Isatis.neo (v.2022). Nous remercions Mme Claire Faucheux (consultante à Geovariances) et M. Jean-Jacques Péraudin (chef de l’équipe consultants à Geovariances) pour les relectures, les commentaires et les conseils.

Cyril Simon, Baptiste Pelletier EDF
Hélène Binet, Pedram Masoudi, Frédéric Rambert, Yvan Assy Geovariances